西罗定理

定义

1. 设 \(G\) 为 \(p^rn\) 阶群, 其中 \(p\) 为素数, \(r \geqslant\), \(p \nmid n\), 则 \(G\) 的每个 \(p^r\) 阶子群均叫做 \(G\) 的 西罗 (Sylow) \(p-\) 子群.

定理

1. 设 \(G\) 是有限群, \(p\) 为素数, \(r\) 是正整数, \(p^r\) 是 \(|G|\) 的因子, 用 \(N(p^r)\) 表示 \(G\) 的 \(p^r\) 阶子群的个数, 则 \(N(p^r) \equiv 1 \pmod{p}\). 特别地, 若 \(p^r\big||G|\), 则 \(G\) 至少存在一个 \(p^r\) 阶子群.
2. 西罗(Sylow)定理 设 \(G\) 为有限群, 则
   1. 对 \(|G|\) 的每个素因子 \(p\), 均存在 \(G\) 的西罗 \(p-\)子群;
   2. \(G\) 的西罗 \(p-\) 子群彼此共轭;
   3. \(G\) 的西罗 \(p-\) 子群的个数 \(\equiv\ 1 \pmod{p}\);
   4. 设 \(P\) 为 \(G\) 的一个西罗 \(p-\) 子群, 则 \(G\) 的西罗 \(p-\) 子群的个 数为 \([G:N_G(P)]\).

例题

1. 令 \(G\) 是集合 \(\Sigma\) 上的置换群, \(P\) 是 \(G\) 的西罗 \(p-\) 子群, \(a \in \Sigma\), 如果 \(p^m\) 整除 \(|Ga|\), 则 \(p^m\) 整除 \(Pa\).

   证明:

   \(P_a = P \cap G_a\), 由轨道公式可知 \[\frac{|G|}{|P_a|} = \frac{|Ga||G_a|}{|P_a|} = [G:P]|Pa|\]

   \(p\) 与 \([G:P]\) 互质, 故 \(p^m \big{|} Pa\).