子群和陪集分解
例题
\(A\), \(B\) 是群 \(G\) 的两个子群. 试证: \[AB \le G \text{ 当且仅当 } AB = BA.\] 证明:
\(\Rightarrow\): \(\forall a \in A, b \in B, ab \in AB\), \(AB\) 是个群, 所以 \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} \in AB\), 同时 \(b^{-1}a^{-1} \in BA\),
所以 \(AB \subset BA\). 又因为 \(\forall ba \in BA\), \((ba)^{-1} = a^{-1}b^{-1} \in AB\), 所以 \(BA \subset AB\),
故 \(AB = BA\)
\(\Leftarrow\): 对于 \(a, a^{’} \in A, b, b^{’} \in B, ab \in AB, a^{’}b^{’} \in AB\),
\(AB = BA\), 则 \(\exists\) \(a^{’’} \in A, b^{’’} \in B, a^{’’}b^{’’} = ba^{’}\), \(aba^{’}b^{’} = aa^{’’}b^{’’}b^{’} \in AB\),
所以 \(AB\) 运算封闭, \(1 \in AB\) 显然, 可逆易证, 故 \(AB \le G\)
令 \(G=GL(n, C)\), \(P\) 是主对角线上的元素均为 \(1\) 的 \(n \times n\) 上三角矩阵. 确定 \(N_G(P)\), \(C_G(P)\) 和 \(P\) 的中心 \(C(P)\).
\(N_G(P) = \{g|g^{-1}Pg = P\}\), 考虑一个初等矩阵 \(g\) 的三种情况
倍乘. 显然 \(g \in N_G(P)\).
交换. 对于一个交换型初等矩阵, 根据左行右列的原则, 显然不满足 \(\forall p \in P, g^{-1}pg \in P\)
倍加. 当非零元在主对角线下方时, 不满足 \(\forall p \in P, g^{-1}pg \in P\). 当非零元在主对角线上方时, \(\forall p \in P, g^{-1}pg \in P\).
故 \(N_G(P)\) 由所有的可逆上三角矩阵组成. 类似可得, \(C_G(P) = E\), \(C_P = E\).
试证有限群 \(G\) 的一个真子群的全部共轭子群不能覆盖整个群 \(G\). 结论对无限群是否成立?
证明: 设 \(H < G\), 则 \(H\) 的共轭子群的个数为 \([G:N_G(H)]\), 每个共轭子群的阶为 \(|H|\).
根据拉格朗日定理, \(G\) 为有限群, 故 \(|G| = [G:N_G(H)]]|N_G(H)|\), 由于 \(|N_G(H)| \ge |H|\),
\(|G| \ge [G:N_G(H)]|H|\), 考虑到 \(H\) 的共轭子群至少有两个 (因为 \(H\) 是真子群), 且两个共轭子群的交至少含有 \(1\), 故必定有 \(|G| > \bigcup_{g \in G} g_{-1}Hg\), 证毕.
结论对无限群不一定成立. 考虑 \(GL_C\), 全体上三角矩阵显然构成一个真子群。而由 Jordan 标准形理论，任意矩阵必相似于一个上三角矩阵.
设 \(G\) 是奇数阶有限群, \(\alpha \in Aut(G)\) 且 \(a^2 = 1\). 令 \[ G_1 = \{g \in G|\alpha(g) = g\}, G_{-1} = \{g \in G|\alpha(g) = g_{-1}\}. \] 试证:\(G = G_1G_{-1}\) 且 \(G_1 \cap G_{-1} = 1\).
证明: \(\forall g \in G\), 令 \(g^{-1}\alpha(g) = x^2\),
\(\alpha(x^2) = \alpha^{-1}(g)g = (g^{-1}\alpha(g))^{-1} = x^{-2}\),
设 \(\alpha(x), x\) 的阶分别为 \(m, n\), 令 \(2w = 1(mod[m, n])\), 上式两边同时取 \(w\) 次幂, 可得 \(\alpha(x) = x^{-1}\)
\(\alpha(gx) = \alpha(g)x^{-1} = gx^2x^{-1} = gx\), \(\alpha(x^{-1}) = x\), 故 \(g = gxx^{-1} \in G_1G_{-1}\).
若有 \(g \not= 1, g \in G_1, g \in G_{-1}\), 则 \(g_{-1} = g, g^2 = 1\), 而 \(G\) 是奇数阶群, 不存在偶数阶元素, 故矛盾, 故 \(G_1 \cap G_{-1} = 1\)
设 \(G\) 是有限阿贝尔群,试证:\(g\) 对应到 \(g^k\) 是 \(G\) 的一个自同构当且仅当 \(k\) 和 \(|G|\) 互素.
证明: 显然这是一个自同态, 仅需证明双射, 又因 \(G\) 是有限群, 故仅需证明单射. 记这个映射为 \(f\), 则
\(\Rightarrow\) f 是单射, 则 \(\forall g, g\prime \in G, g \neq g\prime \Rightarrow g^k \neq (g\prime)^{k}\), 特别的, \(\forall g \not= 1 \in G, g^k \not= 1\), 即 \(k \not= 0(mod |g|)\),
设 \((k, |g|) = p > 1\), 则 \(k = pq, |g| = pr, (g^r)^p = 1\), (g\(^r)^k = (g^r)^{pq} = 1\), 与单射矛盾, 故 \((k, |g|) = 1\), 因此 \(k 和 |G|\) 互素.
\(\Leftarrow\) \(k 和 |G| 互素\), 则 \(g^k = (g\prime)^k \Rightarrow g^{-1}g\prime = 1 \Rightarrow g = g\prime\), 故 \(f\) 为单射.