正规子群, 商群和同态定理

试证群 $G$ 的指数为 2 的子群一定是 $G$ 的正规子群.

证明: 设 $H \leq G, [G:H] = 2$, 则

• $\forall g \in H, gH = H = Hg$

• $\forall g \notin H, gH \neq H, Hg \neq H, H$ 的指数为二, 只有两个陪集, 记为 $\{H, M\}$

  故 $gH = M, Hg = M$, 即 $gH = Hg$

因此, H 是正规子群.

设 $f: G \rightarrow H$ 是群同态, $M \leq G$ 试证 $f^{-1}(f(M)) = KM$, 这里 $K = \ker f$

证明:

$\Leftarrow$ $\forall g = km \in KM, f(g) = f(km) = f(k)f(m) = f(m) \in f(M)$, 故 $g \in f^{-1}(f(M))$,

即 $KM \subset f^{-1}(f(M))$.

$\Rightarrow$ $\forall g \in f^{-1}(f(M)), f(g) \in f(M)$,

故 $\exists m \in M, f(g) = f(m)$, 而 $f(gm^{-1}) = f(m)f(m^{-1}) = 1_H$, 故 $g = gm^{-1}m \in KM$, 即 $f^{-1}(f(M)) \subset KM$.

综上, $f^{-1}(f(M)) = KM$, 证毕.

设 $M$ 和 $N$ 分别是群 $G$ 的正规子群. 如果 $M \cup N = \{1\}$, 则对任意 $a \in M, b \in N, ab = ba$.

证明:

$aba^{-1}b^{-1} = a(ba^{-1}b^{-1}) = aa\prime \in M$, 同理 $aba^{-1}b^{-1} = (aba^{-1})b^{-1} = b\prime b^{-1} \in N$, 故 $aba^{-1}b^{-1} = 1, ab = ba$. 证毕.

设 $N \lhd G$, $g$ 是群 $G$ 的任意一个元素. 如果 $g$ 的阶和 $|G/N|$ 互素, 则 $g \in N$.

证明:

构造从 $G$ 到 $G/N$ 的同态 $f$, $f(g) = \overline{g}$, 则 $g$ 的阶等于 $\overline{g}$ 的阶, 而 $\overline{g}$ 的阶必定是 $|G/N|$ 的因子, 故 $\overline{g} = \overline{1}$, 即 $g \in N$. 证毕.

如果 $G/C(G)$ 是循环群, 则 $G$ 是阿贝尔群.

证明:

考虑从 $G/C(G)$ 到 $G$ 的同态 $f(gC(G)) = g$, 循环群必是交换群, 则 $gh = f(gC(G))f(hC(G)) = f(gC(G)hC(G)) = f(hC(G)gC(G)) = f(hC(G))f(gC(G)) = hg$, 故 $G$ 是交换群.