正规子群, 商群和同态定理

  1. 试证群 \(G\) 的指数为 2 的子群一定是 \(G\) 的正规子群.

    证明: 设 \(H \leq G, [G:H] = 2\), 则

    • \(\forall g \in H, gH = H = Hg\)

    • \(\forall g \notin H, gH \neq H, Hg \neq H, H\) 的指数为二, 只有两个陪集, 记为 \(\{H, M\}\)

      故 \(gH = M, Hg = M\), 即 \(gH = Hg\)

    因此, H 是正规子群.

  2. 设 \(f: G \rightarrow H\) 是群同态, \(M \leq G\) 试证 \(f^{-1}(f(M)) = KM\), 这里 \(K = \ker f\)

    证明:

    \(\Leftarrow\) \(\forall g = km \in KM, f(g) = f(km) = f(k)f(m) = f(m) \in f(M)\), 故 \(g \in f^{-1}(f(M))\),

    即 \(KM \subset f^{-1}(f(M))\).

    \(\Rightarrow\) \(\forall g \in f^{-1}(f(M)), f(g) \in f(M)\),

    故 \(\exists m \in M, f(g) = f(m)\), 而 \(f(gm^{-1}) = f(m)f(m^{-1}) = 1_H\), 故 \(g = gm^{-1}m \in KM\), 即 \(f^{-1}(f(M)) \subset KM\).

    综上, \(f^{-1}(f(M)) = KM\), 证毕.

  3. 设 \(M\) 和 \(N\) 分别是群 \(G\) 的正规子群. 如果 \(M \cup N = \{1\}\), 则对任意 \(a \in M, b \in N, ab = ba\).

    证明:

    \(aba^{-1}b^{-1} = a(ba^{-1}b^{-1}) = aa\prime \in M\), 同理 \(aba^{-1}b^{-1} = (aba^{-1})b^{-1} = b\prime b^{-1} \in N\), 故 \(aba^{-1}b^{-1} = 1, ab = ba\). 证毕.

  4. 设 \(N \lhd G\), \(g\) 是群 \(G\) 的任意一个元素. 如果 \(g\) 的阶和 \(|G/N|\) 互素, 则 \(g \in N\).

    证明:

    构造从 \(G\) 到 \(G/N\) 的同态 \(f\), \(f(g) = \overline{g}\), 则 \(g\) 的阶等于 \(\overline{g}\) 的阶, 而 \(\overline{g}\) 的阶必定是 \(|G/N|\) 的因子, 故 \(\overline{g} = \overline{1}\), 即 \(g \in N\). 证毕.

  5. 如果 \(G/C(G)\) 是循环群, 则 \(G\) 是阿贝尔群.

    证明:

    考虑从 \(G/C(G)\) 到 \(G\) 的同态 \(f(gC(G)) = g\), 循环群必是交换群, 则 \(gh = f(gC(G))f(hC(G)) = f(gC(G)hC(G)) = f(hC(G)gC(G)) = f(hC(G))f(gC(G)) = hg\), 故 \(G\) 是交换群.