群在集合上的作用

引理

1. 设 \(G\) 是 \(2n\) 阶群, \(2 \nmid n\), 则 \(G\) 必有指数为 \(2\) 的正规子群.
2. 设 \(G\) 为有限群, \(p\) 是 \(|G|\) 的最小素因子. 如果 \(N \leqslant G\), \([G:N] = p\), 则 \(N \lhd G\).

定理

1. 设 \(G\) 为有限群, \(\left| G \right| \equiv 2 \pmod{4}\), 则 \(G\) 不是单群.

例题

1. 设群 \(G\) 作用在集合 Σ 上. 令 \(t\) 表示 Σ 在 \(G\) 作用下的轨道个数, 对任意 \(g \in G\), \(f(g)\) 表示 ε 在 \(g\) 作用下的不动点个数. 试证 \[\sum_{g \in G}{f(g)} = t|G|.\] 这就是说, \(G\) 的每个元素在 Σ 上作用平均使得 \(t\) 个文字不动.

   证明: \[ \sum_{g \in G}f(g) = \sum_{a \in \Sigma}|G_{a}| = \sum_{a \in \Sigma}\frac{|G|}{|[a]|} = \sum_{i = 1}^t\sum_{j = 1}^{|[a_i]|}\frac{|G|}{|[a_i]|} = t|G|. \]

   证毕.

2. 设 \(p\) 是一个素数, \(G\) 是 \(p\) 的方幂阶的群. 试证 \(G\) 的非正规子群的个数一定是 \(p\) 的倍数.

   证明:

   若 \(A\) 是 \(G\) 的非正规子群, 考虑从 \(G\) 对 \(A\) 的共轭表示 \(\pi\), \(\Sigma = \{aAa^{-1} | a \in G\}\), \(\pi(g) = gaAa^{-1}g^{-1}\), \([A]\) 即为 \(A\) 的所有共轭子群, 根据轨道公式, \(|[A]|\) 整除 \(|G|\), 故 \([A]\) 的大小是 \(p\) 的倍数, 从而 G 的非正规子群的个数一定是 \(p\) 的倍数.

3. 令 \(G\) 是一个单群, 如果存在 \(G\) 的真子群 \(H\) 使得 \([G:H] \leqslant 4\), 则 \(|G| \leqslant 3\).

   证明:

   考虑 \(G\) 对 \(H\) 的左诱导表示, 则存在 \(G\) 到 \(S_m\) 的同态 \(\rho\), \(m \leqslant 4\). 由于 \(G\) 是单群, 故 \(\ker\rho = {1}\), 否则 \(H=G\), 矛盾.

   若 \(m = 3\), \(G\) 是单群, 故 \(|G| \leqslant S_3\).

   若 \(m = 4\), \(G\) 是单群, 故 \(G\) 不等于 \(S_4, A_4\); \(2^n\) 阶群有非平 凡的中心元素, 故 \(|G| \neq 8\); \(m = 4\), 故 \(|G| \neq 6\); \(4\) 阶群不是单 群, 故 \(|G| \neq 4\). 因此 \(|G| \leqslant 3\).

4. 设 \(H\) 是无限群 \(G\) 的一个具有有限指数的真子群. 试证, \(G\) 一定含有一个有限指数的真正规子群.

   证明:

   设 \([G:H] = m\), 令 \(\Sigma = \{aH | a \in G\}\), 则有 \(G\) 对 \(\Sigma\) 的左诱导表示. 考虑 \(\ker\rho = \cap_{a \in G}{aHa^{-1}}\), \(\ker\rho \lhd G\), \(G/\ker\rho\) 同构于 \(S_m\) 的某个子群, 故 \([G:\ker\rho]|m!\), \(G\) 对 \(\ker\rho\) 的指数有限.

5. 试求 \(S_3\) 的自同构群.

   解:

   令 \(\Sigma = \{(12), (13), (23)\}\), 考虑 \(G = Aut(S_3)\) 在 \(\Sigma\) 上的自然作用. 则有 \(G\) 到 \(\Sigma\) 的同态 \(\rho\),

   \(\ker\rho = \{g \in G|g((12)) = (12), g((13)) = (13), g((23)) = (23)\} = {1}\)

   故 \(G \leqslant S_{\Sigma}\). 又因为 \(Inn(S_3) \cong S_3/C(S_3)\), \(C(S_3) = {1}\), 故 \(G = S_3\).