循环群

例题

1. 证明: 群 \(G\) 没有非平凡子群的充分必要条件是 \(G = {1}\) 或 \(G\) 是素数阶循环群.

   证明:

   \(\Rightarrow\) 若 \(G\) 没有非平凡子群, 则

   1. \(G = \{1\}\)

   2. \(g \in G, g \not= 1\), 考虑 \(g\) 的生成群 \(H\), 则必有 \(H = G\), 即 \(G\) 是循环群. 若 \(|G|\) 有素因子 \(p\), 则 \(G\) 必有 \(p\) 阶子群, 矛盾, 故 \(G\) 必是素数阶循环群.

   \(\Leftarrow\) 若 \(G = {1}\), 显然没有非平凡子群. 若 \(G\) 是素数阶循环群, 则根据拉格朗日定理, \(G\) 的子群的阶必整除 \(G\) 的阶, 故 \(G\) 的子群的阶只能是 1 或 \(|G|\), 故 \(G\) 没有非平凡子群.

2. 如果有限群 \(G\) 的极大子群 \(M\) 是唯一的, 则 \(G\) 是素数幂阶循环群.

   证明: 设 \(G\) 的极大子群为 \(H\), 任取 \(G\) 中不属于 \(H\) 的元素 \(g\), 则 \(\langle g \rangle\) 必是 \(G\), 否则会有其他的极大子群, 故 \(G\) 是循环群, \(|G| = n = a_1^{p_{1}} \cdots a_m^{p_{m}}\), 若 \(m \not= 1\), 则 \(\langle g^{a_1} \rangle, \langle g^{a_2} \rangle\) 是两个极大子群, 矛盾, 故 \(G\) 是素数幂阶循环群.

3. 举一个无限群的例子, 它的任意阶数不为 \(1\) 的子群都具有有限指数.

   考虑整数加法群 \(Z\), 它的任意阶数不为 \(1\) 的子群为 \(nZ\), 指数为 \(n\).

4. 设 \(p\) 是一个素数, \(G\) 是方程 \(x^p = 1, x^{p^2} = 1, \cdots, x^{p^n} = 1, \cdots\) 的所有根在复数乘法下的群. 试证 \(G\) 的任意真子群都是有限阶的循环群.

   证明: 显然, \(x^{p^k} = 1\) 的解都是 \(x^{p^{k+1}} = 1\) 的解, 令 \(C_i := \{x | x ^{p^i} = 1\}, D_i := \{x | x^{p^i} = 1, x^{p^{i-1}} \not= 1\}, i = 1, 2, 3, \cdots\). 显然 \(C_i\) 都是循环群, 记 \(C_i = [g_i]\), \(D_i\) 中的元素都是 \(C_i\) 的生成元.

   假设 \(H\) 是 \(G\) 的真子群, \(g \in G, g \not\in H\), 设 \(g \in D_k\), 则 \(g_i \not\in H, i = k, k+1, \cdots\) 否则 \(g\) 可以由 \(g_i\) 生成, 故 \(D_i \not\subset H\). 此时 \(H = C_{k-1}\), 是有限阶循环群. 当有任意多个元素不属于 \(H\) 时, 找出最小的 \(k\) 即可.

   证毕.