定义 设 \(G\) 为 \(p^rn\) 阶群, 其中 \(p\) 为素数, \(r \geqslant\), \(p \nmid n\), 则 \(G\) 的每个 \(p^r\) 阶子群均叫做 \(G\) 的 西罗 (Sylow) \(p-\) 子群. 定理 设 \(G\) 是有限群, \(p\) 为素数, \(r\) 是正整数, \(p^r\) 是 \(|G|\) 的因子, 用 \(N(p^r)\) 表示 \(G\) 的 \(p^r\) 阶子群的个数, 则 \(N(p^r) \equiv 1 \pmod{p}\). 特别地, 若 \(p^r\big||G|\), 则 \(G\) 至少存在一个 \(p^r\) 阶子群. 西罗(Sylow)定理 设 \(G\) 为有限群, 则 对 \(|G|\) 的每个素因子 \(p\), 均存在 \(G\) 的西罗 \(p-\)子群; \(G\) 的西罗 \(p-\) 子群彼此共轭; \(G\) 的西罗 \(p-\) 子群的个数 \(\equiv\ 1 \pmod{p}\); 设 \(P\) 为 \(G\) 的一个西罗 \(p-\) 子群, 则 \(G\) 的西罗 \(p-\) 子群的个 数为 \([G:N_G(P)]\).

引理 设 \(G\) 是 \(2n\) 阶群, \(2 \nmid n\), 则 \(G\) 必有指数为 \(2\) 的正规子群. 设 \(G\) 为有限群, \(p\) 是 \(|G|\) 的最小素因子. 如果 \(N \leqslant G\), \([G:N] = p\), 则 \(N \lhd G\). 定理 设 \(G\) 为有限群, \(\left| G \right| \equiv 2 \pmod{4}\), 则 \(G\) 不是单群. 例题 设群 \(G\) 作用在集合 Σ 上. 令 \(t\) 表示 Σ 在 \(G\) 作用下的轨道个数, 对任意 \(g \in G\), \(f(g)\) 表示 ε 在 \(g\) 作用下的不动点个数. 试证 \[\sum_{g \in G}{f(g)} = t|G|.

试证群 \(G\) 的指数为 2 的子群一定是 \(G\) 的正规子群. 证明: 设 \(H \leq G, [G:H] = 2\), 则 \(\forall g \in H, gH = H = Hg\) \(\forall g \notin H, gH \neq H, Hg \neq H, H\) 的指数为二, 只有两个陪集, 记为 \(\{H, M\}\) 故 \(gH = M, Hg = M\), 即 \(gH = Hg\) 因此, H 是正规子群. 设 \(f: G \rightarrow H\) 是群同态, \(M \leq G\) 试证 \(f^{-1}(f(M)) = KM\), 这里 \(K = \ker f\)

例题 证明: 群 \(G\) 没有非平凡子群的充分必要条件是 \(G = {1}\) 或 \(G\) 是素数阶循环群. 证明: \(\Rightarrow\) 若 \(G\) 没有非平凡子群, 则 \(G = \{1\}\) \(g \in G, g \not= 1\), 考虑 \(g\) 的生成群 \(H\), 则必有 \(H = G\), 即 \(G\) 是循环群. 若 \(|G|\) 有素因子 \(p\), 则 \(G\) 必有 \(p\) 阶子群, 矛盾, 故 \(G\) 必是素数阶循环群. \(\Leftarrow\) 若 \(G = {1}\), 显然没有非平凡子群. 若 \(G\) 是素数阶循环群, 则根据拉格朗日定理, \(G\) 的子群的阶必整除 \(G\) 的阶, 故 \(G\) 的子群的阶只能是 1 或 \(|G|\), 故 \(G\) 没有非平凡子群.

例题 \(A\), \(B\) 是群 \(G\) 的两个子群. 试证: \[AB \le G \text{ 当且仅当 } AB = BA.\] 证明: \(\Rightarrow\): \(\forall a \in A, b \in B, ab \in AB\), \(AB\) 是个群, 所以 \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} \in AB\), 同时 \(b^{-1}a^{-1} \in BA\), 所以 \(AB \subset BA\). 又因为 \(\forall ba \in BA\), \((ba)^{-1} = a^{-1}b^{-1} \in AB\), 所以 \(BA \subset AB\), 故 \(AB = BA\) \(\Leftarrow\): 对于 \(a, a^{’} \in A, b, b^{’} \in B, ab \in AB, a^{’}b^{’} \in AB\),

Suppose the \(s \times n\) matrix on field \(K\) \[ A = {\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn}\\ \end{pmatrix}} \] satisfies \(s \le n\), and \[2|a_{ii}|>\sum_{j=1}^{n}{|a_{ij}|},\ \ (i = 1, 2, \cdots, s),\] proof: rank of \(A\)’s row vector group, \(\gamma_{1}\), \(\gamma_{2}\), ⋯, \(\gamma_{s}\), equals to \(s\).

Fibonacci sequence is a sequence as \[1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \cdots,\] it satisfies: \(F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}(n \ge 3), F_1 = 1, F_2 = 2\) Proof the Fibonacci numbers \(F_n\) can be get from the determinant \[ F_n = {\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & -1 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 1\\ \end{vmatrix} }; \]

Suppose \(n\ge 2\)，show that if the elements of a \(n \times n\) matrix \(A\) are 1 or -1, then \(|A|\) must be an even number. Consider the symmetries of \(a_{1i}\), \(a_{2j}\) and \(a_{1j}\), \(a_{2i}\), the value of corresponding determinant of the \(2 \times 2\) matrix must be an even number, so the n-order determinant must be an even number. Does \(f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz\) has a factor which is of degree 1? if yes, show it.